Решение задачи 26 (2015 г.)
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


Решение задачи 26 на примере официальной демо-версии КИМ ЕГЭ 2015 г.


Perfect Money

Решение задачи 26 на примере официальной демо-версии КИМ ЕГЭ 2015 г.

Текст задачи. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 35.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу, в которой будет 35 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 34.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть за один ход;

— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в позиции.


Решение. В данной задаче не указано начальное количество камней в куче, следовательно, формировать модель игры имеет смысл не по возможным ходам конкретных игроков, а по всем возможным ходам без их привязки к игрокам. Лишь тогда впоследствии можно проанализировать эту модель и ответить на поставленные вопросы.

Построим таблицу, состоящую из двух столбцов. Первый столбец будет содержать все возможные значения S, а второй — результат выполнения хода каким-либо игроком. Итак, заголовки таблицы могут быть такими:

SРезультат хода

В столбец S внесём все возможные начальные значения количества камней в куче:

SРезультат хода
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
31 
32 
33 
34 

Если изначально в куче находится 1 камень, то игрок своим ходом может получить 2, 4 или опять 2 камня:

SРезультат хода
12, 4, 2
 

А если S = 2, то 3, 5 или 4 камня:

SРезультат хода
12, 4, 2
23, 5, 4
 

Заполним таблицу чуть более чем наполовину:

SРезультат хода
12, 4, 2
23, 5, 4
34, 6, 6
45, 7, 8
56, 8, 10
67, 9, 12
78, 10, 14
89, 11, 16
910, 12, 18
1011, 13, 20
1112, 14, 22
1213, 15, 24
1314, 16, 26
1415, 17, 28
1516, 18, 30
1617, 19, 32
1718, 20, 34
1819, 21, 36

Замечаем, что во всех вопросах задачи имеются такие словосочетания: "может выиграть", "есть [выигрышная] стратегия"… Эти термины означают, что, например, при S = 18 можно не указывать конкретные варианты осуществления хода, но лишь показать возможность выигрыша. Таким образом, последний приведённый в таблице результат хода можно записать примерно так:

SРезультат хода
 
18≥ 35
 

Аналогично заполним таблицу до конца:

SРезультат хода
12, 4, 2
23, 5, 4
34, 6, 6
45, 7, 8
56, 8, 10
67, 9, 12
78, 10, 14
89, 11, 16
910, 12, 18
1011, 13, 20
1112, 14, 22
1213, 15, 24
1314, 16, 26
1415, 17, 28
1516, 18, 30
1617, 19, 32
1718, 20, 34
18≥ 35
19≥ 35
20≥ 35
21≥ 35
22≥ 35
23≥ 35
24≥ 35
25≥ 35
26≥ 35
27≥ 35
28≥ 35
29≥ 35
30≥ 35
31≥ 35
32≥ 35
33≥ 35
34≥ 35

Теперь таблица содержит описания всех ходов при всех возможных значениях S. Кроме того, она позволяет проследить, как будет развиваться "многоходовая" игра при том или ином значении S: достаточно посмотреть, какой результат может получить игрок, осуществляя ход при некотором S, и принять этот результат в качестве нового значения S (и так далее до завершения игры). Воспользуемся этой таблицей, чтобы ответить на вопросы задачи.

1. а) Петя начинает игру, следовательно, в таблице нужно найти все строки, в столбце "Результат хода" которых указано значение "≥ 35". Таких строк — 17, приведём их в качестве фрагмента таблицы:

SРезультат хода
 
18≥ 35
19≥ 35
20≥ 35
21≥ 35
22≥ 35
23≥ 35
24≥ 35
25≥ 35
26≥ 35
27≥ 35
28≥ 35
29≥ 35
30≥ 35
31≥ 35
32≥ 35
33≥ 35
34≥ 35

В столбце "S" этих строк содержатся числа от 18 по 34, значит, 18 ≤ S ≤ 34. При этом Петя всегда может увеличить S в два раза и получить 35 или более камней (кстати, обратите внимание: всегда более 35 камней). К тому же: а) если S > 31, то Петя может и добавить 3 камня в кучу, получив 35 камней и, соответственно, выигрыш; б) если S = 34, он может просто добавить 1 камень и тоже получить 35 камней.

1. б) В таблице имеется лишь одна строка, в столбце "Результат хода" которой все три значения приводят к ситуации, когда второй игрок (Ваня) имеет возможность выиграть:

SРезультат хода
 
1718, 20, 34
 

Действительно, если "новое значение S" (после описанного хода, перед ходом Вани) составит 18, 20 или 34, то Ваня сможет выполнить победный ход:

SРезультат хода
 
18≥ 35
 
20≥ 35
 
34≥ 35

Из этого следует, что при S = 17 Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети из этого положения Ваня может выиграть своим первым ходом, просто удвоив количество камней в куче (подробнее это было описано в п. 1а, но достаточно привести лишь показанный ответ).

2. О том, что такое выигрышная стратегия, подробно описано в Теоретическом введении. Петя может выиграть строго в 2 хода тогда и только тогда, когда получит после первого своего хода 17 камней в куче (почему это так, сказано в п. 1б). Отыщем в таблице все строки, в столбце "Результат хода" которых есть значение 17:

SРезультат хода
 
1415, 17, 28
 
1617, 19, 32
 

Значит, S = 14 или S = 16. В обоих случаях Петя должен получить 17 камней в куче, а своим вторым ходом удвоить результирующее количество камней (почему это так, сказано в п. 1б).

3. Попробуем проанализировать ход игры для отдельных значений S. Сначала определимся с диапазоном рассматриваемых S. Итак, Ваня может выиграть первым или вторым ходом в принципе, если перед его последним ходом количество камней в куче от 18 до 34 включительно (почему это так, описано в п. 1а). В п. 1б мы также описали, что к некоторым из этих значений можно прийти, если перед вторым ходом Пети в куче будет находиться 17 камней (ведь тогда он не выиграет), а в п. 2 было доказано, что для этого Ваня должен иметь кучу, состоящую из 14 или 16 камней. Теперь осталось проанализировать самый первый ход игры, для чего рассмотрим строки таблицы, в столбце "Результат хода" которых присутствуют упомянутые значения (14 или 16 камней, ведь это — варианты результата предшествующего — первого — хода Пети):

SРезультат хода
 
78, 10, 14
89, 11, 16
 
1112, 14, 22
 
1314, 16, 26
 
1516, 18, 30
 

При S = 7, S = 8, S = 11 совсем нет гарантии, что Петя получит выделенное цветом количество камней. Да и зачем ему это? Он же не хочет проигрывать… Более интересна ситуация с S = 13, при которой имеются два варианта из трёх, что Петя получит интересующее Ваню количество камней. А что с третьим (невыделенным) вариантом? Пусть Петя удвоит свои 13 камней и получит 26. Тогда следующим ходом Ваня выигрывает (см. полную таблицу ходов выше)! Получается, что есть теоретическая возможность выигрыша Вани его первым ходом, но при этом гарантированной выигрышной стратегии, обеспечивающей выигрыш Вани его первым ходом не существует.

Аналогичная ситуация наблюдается при S = 15. Есть один вариант из трёх, что Петя получит интересующее Ваню количество камней (16, выделено цветом). В двух других вариантах развития игры (Петя получает 18 или 30 камней) Ваня может просто удвоить это количество и выиграть своим первым ходом. Опять же есть теоретическая возможность выигрыша Вани его первым ходом, но гарантированной выигрышной стратегии, обеспечивающей выигрыш Вани его первым ходом не существует.

Несмотря на то, что третье задание подразумевало отыскание единственного значения S, оказывается справедливым назвать два: S = 13 и S = 15.

Итак, мы нашли количество камней в куче перед началом игры, которое должно быть, чтобы обеспечить победу Вани первым или гарантированно вторым его ходом. Покажем выигрышную стратегию Вани. Вот все возможные варианты первого хода в игре — хода Пети (будем приписывать к числам столбца "S" первую букву имени игрока, осуществляющего ход, и номер его хода):

SРезультат хода
 
13 (П-1)14, 16, 26
 
15 (П-1)16, 18, 30
 

Тогда возможны три варианта первого хода Вани (расширяем таблицу до всех интересующих нас фрагментов). В столбце "Результат хода" выделим цветом те результаты, которые нужно получить выигрывающему игроку (Ване):

SРезультат хода
 
13 (П-1)14, 16, 26
 
14 (В-1)15, 17, 28
15 (П-1)16, 18, 30
16 (В-1)17, 19, 32
 
18 (В-1)≥ 35
 
26 (В-1)≥ 35
 
30 (В-1)≥ 35
 

Описанный выше возможный выигрыш Вани его первым ходом уже виден. Расширим таблицу далее на все варианты второго хода Пети:

SРезультат хода
 
13 (П-1)14, 16, 26
14 (В-1)15, 17, 28
15 (П-1)16, 18, 30
16 (В-1)17, 19, 32
17 (П-2)18, 20, 34
18 (В-1)≥ 35
 
26 (В-1)≥ 35
 
30 (В-1)≥ 35
 

Осталось добавить последний победный ход в игре (Вани):

Рис. 1. Ответ на 3-й вопрос: дерево игры

SРезультат хода
 
13 (П-1)14, 16, 26
14 (В-1)15, 17, 28
15 (П-1)16, 18, 30
16 (В-1)17, 19, 32
17 (П-2)18, 20, 34
18 (В-1, В-2)≥ 35
 
20 (В-2)≥ 35
 
26 (В-1)≥ 35
 
30 (В-1)≥ 35
 
34 (В-2)≥ 35

Возможно, эту таблицу удобнее представить в виде дерева, как это показано на рисунке (красным цветом выделены ходы Вани как победителя).

Решение завершено. Мы подробно и последовательно (что важно) ответили на все вопросы задачи.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика