Решение задачи C3: вторая демо-версия КИМ ЕГЭ (2013 г.)
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

24.08.2017 Поздравляем учителей, преподавателей, учащихся и их родителей с началом нового учебного года! Пусть он окажется успешным и даст много полезных и нужных знаний.

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


Решение задачи C3 на примере второй демо-версии КИМ ЕГЭ 2013 г.


Найти репетитора

Решение задачи C3 на примере второй демо-версии КИМ ЕГЭ 2013 г.

Текст задачи. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
— Петя не может выиграть за один ход, и
— Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

3. Укажите значение S, при котором:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в куче.


Решение. В данной задаче не указано начальное количество камней в куче, следовательно, формировать модель игры имеет смысл не по возможным ходам конкретных игроков, а по всем возможным ходам без их привязки к игрокам. Лишь тогда впоследствии можно проанализировать эту модель и ответить на поставленные вопросы.

Построим таблицу, состоящую из двух столбцов. Первый столбец будет содержать все возможные значения S, а второй — результат выполнения хода каким-либо игроком. Итак, заголовки таблицы могут быть такими:

SРезультат хода

В столбец S внесём все возможные начальные значения количества камней в куче:

SРезультат хода
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 

Если изначально в куче находится 1 камень, то игрок любым возможным ходом может получить только 2 камня:

SРезультат хода
12
 

А если S = 2, то 3 или 4 камня:

SРезультат хода
12
23, 4
 

Заполним таблицу примерно наполовину:

SРезультат хода
12
23, 4
34, 6
45, 8
56, 10
67, 12
78, 14
89, 16
910, 18
1011, 20
1112, 22
 

Замечаем, что во всех вопросах задачи имеются такие словосочетания: "может выиграть", "есть [выигрышная] стратегия"… Эти термины означают, что, например, при S = 11 можно не указывать все варианты осуществления хода, но лишь показать возможность выигрыша. Таким образом, последний приведённый в таблице результат хода можно записать примерно так:

SРезультат хода
 
11≥ 22
 

Аналогично заполним таблицу до конца:

SРезультат хода
12
23, 4
34, 6
45, 8
56, 10
67, 12
78, 14
89, 16
910, 18
1011, 20
11≥ 22
12≥ 22
13≥ 22
14≥ 22
15≥ 22
16≥ 22
17≥ 22
18≥ 22
19≥ 22
20≥ 22
21≥ 22

Теперь таблица содержит описания всех ходов при всех возможных значениях S. Кроме того, она позволяет проследить, как будет развиваться "многоходовая" игра при том или ином значении S: достаточно посмотреть, какой результат может получить игрок, осуществляя ход при некотором S, и принять этот результат в качестве нового значения S (и так далее до завершения игры). Воспользуемся этой таблицей, чтобы ответить на вопросы задачи.

1. а) Петя начинает игру, следовательно, в таблице нужно найти все строки, в столбце "Результат хода" которых указано значение "≥ 22". Таких строк — 11, приведём их в качестве фрагмента таблицы:

SРезультат хода
 
11≥ 22
12≥ 22
13≥ 22
14≥ 22
15≥ 22
16≥ 22
17≥ 22
18≥ 22
19≥ 22
20≥ 22
21≥ 22

В столбце "S" этих строк содержатся числа от 11 до 21, значит, 11 ≤ S ≤ 21. При этом Петя всегда может увеличить S в два раза и получить 22 или более камней. К тому же если S = 21, то Петя может просто добавить 1 камень в кучу.

1. б) В таблице имеется лишь одна строка, в столбце "Результат хода" которой значения (оба) приводят к ситуации, при которой второй игрок (Ваня) имеет возможность выиграть:

SРезультат хода
 
1011, 20
 

Действительно, если "новое значение S" (после описанного хода) составит 11 или 20, то Ваня сможет выполнить победный ход:

SРезультат хода
 
11≥ 22
 
20≥ 22
 

Из этого следует, что при S = 10 Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом, удвоив количество камней в куче (как это было описано в п. 1а).

2. О том, что такое выигрышная стратегия, подробно описано в Теоретическом введении. Петя может выиграть строго в 2 хода тогда и только тогда, когда получит после первого своего хода 10 камней в куче (почему это так, описано в п. 1б). Отыщем в таблице все строки, в столбце "Результат хода" которых есть значение 10:

SРезультат хода
 
56, 10
 
910, 18
 

Значит, S = 5 или S = 9. В обоих случаях Петя должен получить 10 камней в куче, а своим вторым ходом удвоить результирующее количество камней (почему это так, описано в п. 1б).

3. Попробуем проанализировать ход игры для отдельных значений S. Сначала определимся с диапазоном рассматриваемых S. Итак, Ваня может выиграть первым или вторым ходом в принципе, если перед его последним ходом количество камней в куче от 11 до 21 включительно (почему это так, описано в п. 1а). Рассмотрим строки таблицы, в столбце "Результат хода" которых присутствуют такие значения (ведь это — варианты результата предшествующего хода Пети):

SРезультат хода
 
67, 12
78, 14
89, 16
910, 18
1011, 20
 

Пусть S = 10. Тогда Ваня выигрывает первым своим ходом (почему это так, описано в п. 1б).

Пусть S = 9. Тогда у Вани нет выигрышной стратегии, ведь перед его (единственным) ходом в куче может оказаться 10 камней.

Пусть S = 8. Тогда возможны два варианта развития игры. 1) Петя добавляет в кучу 1 камень (получает 9 камней), Ваня также добавляет в кучу 1 камень (получает 10 камней), после чего Петя проигрывает, а Ваня выигрывает своим вторым ходом — см. п. 1б. 2) Петя удваивает количество камней в куче (получая 16 камней), после чего Ваня выигрывает своим первым ходом, удвоив это количество. Выходит, что найдена формулировка именно в том виде, в котором приведена в вопросе: "у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом". Итак, S = 8 (из формулировки вопроса следует, что достаточно найти одно значение — даже если их на самом деле десять). Покажем фрагмент таблицы, из которого видны все варианты развития игры при этом значении, и припишем к числам столбца "S" первую букву имени игрока, осуществляющего ход:

SРезультат хода
 
8 (П)9, 16
9 (В)10
10 (П)11, 20
11 (В)≥ 22
 
16 (В)≥ 22
 
20 (В)≥ 22
 
    • Обратите внимание: в этой таблице вместо строки

      SРезультат хода
       
      9 (В)10, 18
       

      присутствует строка

      SРезультат хода
       
      9 (В)10
       

      Дело в том, что ход, состоящий в получении 18 камней из 9, противоречит выигрышной стратегии Вани, значит, не подлежит рассмотрению.

Решение завершено. Мы подробно и последовательно (что важно) ответили на все вопросы задачи.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика