§6. Вычисление степеней и корней
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

24.08.2017 Поздравляем учителей, преподавателей, учащихся и их родителей с началом нового учебного года! Пусть он окажется успешным и даст много полезных и нужных знаний.

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§6. Вычисление степеней и корней




§6. Вычисление степеней и корней

Программу "Калькулятор" можно использовать для вычисления значений степенных функций при заданных показателях. Наиболее простые расчёты осуществляются в его обычном виде, более сложные выполняются в инженерном. Подробнее о настройке вида "Калькулятора" можно узнать из §1.

В стандартном виде "Калькулятора" число можно возвести в небольшую целую степень (используя умножение) или вычислить квадратный корень из него, нажав на . Комбинируя эти две возможности, реально получать результаты возведения в степень с рациональным показателем, в т. ч. отрицательным. Из Примера 1 видно, как в обычном виде "Калькулятора" осуществляется возведение в степень. Сразу заметим, что показанная в этом Примере последовательность действий будет работать и в инженерном "Калькуляторе", но расширенные возможности инженерного вида позволяют сделать то же самое быстрее (о вычислении степеней и корней в инженерном виде см. далее в этом параграфе).

  • 1

    • Задача. Вычислить 115.


      Решение. Выполним такую программу:

            161051.

    • Об особенностях вычислений, связанных с несколькими последовательными нажатиями кнопки , можно узнать из §3 и, конкретно, Примера 4 из §3.

В Примере 2 показано, как осуществляется извлечение корня из числа, притом не только квадратного. Задачи этого Примера могут быть выполнены лишь в обычном виде "Калькулятора", поскольку в инженерном отсутствует кнопка .

  • 2

    • Задача. Вычислить: 1) , 2) , 3) .


      Решение.

      1)   36.

      2)   4  2,

      ведь .

      3)   22,627416997969520780827019587355

       4,7568284600108842668699998822419

       2,1810154653305153184140213115214,

      потому что .

Отрицательные целые степени тоже могут быть вычислены в обычном виде "Калькулятора". Для этого надо воспользоваться привычным правилом: результат возведения числа в отрицательную степень выражается обратным числом, взятым с тем же знаком, по отношению к результату возведения того же числа в степень, показатель которой равен абсолютному значению показателя отрицательной степени — см. Пример 3. Однако, прежде чем обратиться к этому Примеру, остановимся на проблеме представления чисел.

При вычислении больших или, наоборот, малых степеней (да и не только степеней) мы можем столкнуться с представлением результата в стандартном виде. Такая форма числа позволяет наиболее быстрым и простым способом оценить его величину, не вглядываясь в его цифры и не пересчитывая их. Потому эту форму ещё называют научной или экспоненциальной.

    • Напомним, что стандартным видом десятичного числа называется его запись в форме a × 10n, где мантисса a: 0 ≤ ∣a∣ < 10, основание равно 10, порядок n ∈ Z. Более подробно о стандартном виде числа можно прочитать из §2 раздела "Дискретная математика"/"Системы счисления".

      Экспоненциальная форма числа предполагает запись его стандартного вида, продемонстрированного выше, ещё короче: aEn. Здесь буква E, будучи признаком научного представления числа, означает экспоненту; не играет никакой роли, является ли она прописной или строчно́й.

Представление числа можно изменять, но лишь в инженерном виде "Калькулятора". Для этого используется кнопка . Можно и ввести число в экспоненциальной форме: сначала укажите мантиссу, затем нажмите и, наконец, введите порядок.

    • Необходимо отметить, что нажатие не всегда позволяет перейти от научной формы числа к естественной. Если при переходе от экспоненциальной формы к обычной выясняется, что целая или дробная части числа оказываются слишком длинными, такими, что "Калькулятор" не может "уместить" число в своём текстовом поле, то изменение формы представления не выполняется. "Калькулятор" способен отобразить без экспоненты такие числа, знаковая длина которых не превышает 31 цифру в целой и дробной частях вместе. Подобная ситуация описана в Примере 3.

    • "Калькулятор" устроен разработчиками так, чтобы на протяжении всех расчётов максимально сохранять точность результатов. Именно по этой причине приведение к обычной форме отображения числа не всегда выполняется. Об особой точности "Калькулятора", в отличие от карманных калькуляторов, можно судить хотя бы на таком примере: наберите любое число, а затем дважды выполните над ним операцию и сравните полученные результаты.

Теперь на примере вычисления степени с отрицательным порядком понаблюдаем, как числа представляются "Калькулятором" в экспоненциальной форме (Пример 3).

  • 3

    • Задача. Вычислить 11–5.


      Решение. Пусть "Калькулятор" работает в обычном виде. Выполним сначала такую же программу, как в Примере 1:

            161051.

      Пока ещё мы вычислили 115. Определим теперь число, обратное данному, с тем же знаком:

       6,2092132305915517444784571346965e-6.

      Собственно, расчёт окончен.

      Мы видим, что результат показан в экспоненциальной форме. Попробуем изменить форму представления числа, для чего осуществим несколько шагов.

      1) Сохраним число в ячейке памяти, что необходимо для его последующего использования в инженерном виде:

      .

      2) Изменим вид "Калькулятора" на инженерный.

      3) Теперь в текстовом поле отображается 0. Извлечём число из памяти и попробуем представить его в привычном виде:

        6,2092132305915517444784571346965e-6…

      По знаковой длине мантиссы числа можно было предугадать, что выполненные действия не увенчаются успехом: "Калькулятору" "дороже" сохранить точность полученного результата, нежели исполнить запрошенную функцию. Однако показанная в настоящем Примере последовательность действий верная и будет реализована для чисел с более короткими мантиссами.

Обратимся к инженерному виду "Калькулятора" и рассмотрим некоторые особенности возведения числа в степень (и, разумеется, извлечения корня, что есть, по сути, то же самое действие).

Для этой цели могут быть использованы три кнопки: и позволяют возвести число в квадрат и куб соответственно, кнопка нужна для возведения числа в любую степень и, конечно, извлечения арифметического корня любой степени. Некоторые простые задачи по возведению в степень и извлечению корня решаются в Примере 4.

  • 4

    • Задача. Вычислить: 1) 113, 2) 16–4, 3) , 4) .


      Решение. Установим инженерный вид "Калькулятора" и выполним решения в соответствии с показанными ниже программами ввода данных.

      1)   1331.

      2)     0,0000152587890625.

      3)         64,

      ведь .

      4) Последнюю задачу решим двумя способами. Здесь главное — помнить о порядке действий "сверху вниз".

      Способ первый: с помощью ячейки памяти.

        4 

          16 

          43046721.

      Действительно, .

      Способ второй: с использованием скобок. Сто́ит отметить, что вместо трёх двоек, показанных в условии в качестве показателей, с помощью цифровых кнопок достаточно ввести лишь одну!

            4  16  43046721.

После того, как мы изучили имеющиеся примеры, самое время упомянуть о функциональном модификаторе 'Inv', ведь с его помощью извлекать арифметический корень становится ещё проще. В частности, установка его флага с последующим нажатием ( ) приводит к вычислению квадратного корня, использование   позволяет вычислить кубический корень. Расчёт арифметического корня любой степени производится так:  

В Примере 5 продемонстрированы основные случаи использования функционального модификатора 'Inv' при вычислении корней.

  • 5

    • Задача. Вычислить: 1) , 2) , 3) , 4) .


      Решение.

      1)    36.

      2)      2,8284271247461900976033774484194.

      3)      2,1810154653305153184140213115214.

      4)    8   64.

Пример 6 показывает некоторые особые, иногда курьёзные, но работающие случаи вычислений степеней и корней с применением функционального модификатора 'Inv'.

  • 6

    • Задача. Вычислить: 1) 2–2, 2) .


      Решение.

      1) Так считать долго и неудобно, но метод работает (этим подчёркивается, что позволяется рассчитывать якобы "корень степени –1/2"):

            0,25.

      2) В этой программе использован похожий способ, но, в отличие от предыдущей, он немного ускоряет ввод данных, потому что выполнен "по делу" (правда, можно предложить более рациональную программу):

            0,5

            1,2599210498948731647672106072782.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика