§8. Тригонометрические и гиперболические функции
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§8. Тригонометрические и гиперболические функции


Найти репетитора

§8. Тригонометрические и гиперболические функции

"Калькулятор" предоставляет возможности для вычисления значений некоторых тригонометрических и гиперболических функций, в т. ч. обратных. Хотя необходимо сразу же оговориться насчёт "некоторых": все они связаны друг с другом математической зависимостью, поэтому было бы логичнее сказать о возможности расчётов со всеми тригонометрическими и гиперболическими функциями. Ведь главное — уметь это делать… На Примерах настоящего параграфа можно убедиться, что это действительно так.

Подобные расчёты осуществляются только после установки инженерного вида. Подробнее о настройке вида "Калькулятора" можно прочитать в §1.

Из числа тригонометрических функций "напрямую" "Калькулятор" позволяет определить значения синуса (), косинуса () и тангенса (). Аргументами этих функций являются величины, описывающие углы, поэтому для выражающих эти величины чисел следует устанавливать единицы измерения углов. Определим, какие единицы измерения углов доступны для использования в "Калькуляторе".

    • Угол величиной 1 радиан — центральный, опирающийся на дугу, длина которой составляет 1/2π длины всей окружности.

      Угол величиной 1 градус — центральный, опирающийся на дугу, длина которой составляет 1/360 длины всей окружности.

      Угол величиной 1 град — центральный, опирающийся на дугу, длина которой составляет 1/400 длины всей окружности.

    • Таким образом, развёрнутый угол равен π рад, 180° или 200 град.

При установке единиц измерения углов будем пользоваться соответствующими радиокнопками, пиктограммы которых будут присутствовать в наших программах: для установки радиан, — градусов и — град.

Пример 1 показывает, что основное тригонометрическое тождество справедливо при любых значениях угла, для которого вычисляются используемые в нём тригонометрические функции.

  • 1

    • Задача. Показать, что sin2 50° + cos2 50° = 1.


      Решение. Выполним решение по программе:

               1.

    • Если одно и то же число часто используется в последовательных вычислениях, то его логично сохранить в ячейке памяти.

В Примере 2 произведены последовательные вычисления тригонометрических функций с аргументами, выраженными разными единицами измерения углов.

  • 2

    • Задача. Вычислить: cos π/12 – tg4 8°.


      Решение.

           0,26179938779914943653855361527329

       0,9659258262890682867497431997289

          0,14054083470239144683811769343281

         0,96553569560044408106879817505981.

      В самом деле, следовало ожидать, что результат расчёта всего выражения будет близок к уменьшаемому.

    • Из программы Примера 2 видно, что переключением радиокнопок единиц измерения углов не удастся перевести введённую величину из одних единиц в другие. Однако можно придумать программу, пусть и затратную по времени, которая, правда косвенно, сможет выполнить нечто подобное такому переводу без ввода явных отношений между единицами, как, например, π/180. Для осуществления такой программы нужно иметь представление об обратных тригонометрических функциях, использование которых будет описано в настоящем параграфе далее.

Часто можно столкнуться с ситуацией, при которой требуется вычислить не только синус, косинус или тангенс. Потому нужно напомнить, как с ними связаны другие тригонометрические функции. Они, правда, определяются по единому принципу: достаточно разделить 1 на результат какой-нибудь из перечисленных функций, и получится значение новой функции при том же аргументе.

Косеканс связан с синусом выражением (8.1):

(8.1)
Определение косеканса
(8.1)

Вместо приведённого в (8.1) обозначения косеканса csc иногда используется (вероятно, более понятное) cosec.

Секанс связан с косинусом равенством (8.2):

(8.2)
Определение секанса
(8.2)

Вместо показанного в (8.2) обозначения секанса sec в ряде случаев можно встретить упрощённое sc.

Котангенс связан с тангенсом часто используемым соотношением (8.3):

(8.3)
Определение котангенса
(8.3)
    • Вместо распространённого обозначения котангенса ctg, приведённого и в (8.3), иногда можно наблюдать cot.

Расчёт значения выражения, содержащего "отсутствующие в перечне" тригонометрические функции, приведён в Примере 3.

  • 3

    • Задача. Вычислить значение выражения, если α = π/6, β = π/8:

      ln2 sec2 αβ – lg2 (ctg α–1 ctg β–1).


      Решение. Будем сразу упрощать ввод данных, чтобы не тратить время на некоторые очевидные расчёты.

      Аргумент секанса равен:

              0,20561675835602830455905189583075

      Сам секанс в квадрате:

         1,0434990760746671200041075945486

      Значение натурального логарифма в квадрате:

        0,0018130191107336089835048296344493

      Сохраним уменьшаемое в ячейку памяти:

      Приступим к вычислению вычитаемого, начнём, естественно, с аргумента логарифма и, конкретно, его первого котангенса:

              -0,35268296954605501995379178786375

      Аналогично рассчитаем второй котангенс:

                0,52095961873043740184232711903978

      Осталось вычислить сам логарифм, возвести его в квадрат и вычесть из сохранённого в памяти числа:

          -0,080199939848874272184633787823838

      Посмотрим содержимое памяти с окончательным ответом:

       -0,078386920738140663201128958189389.

Если читатель знако́м с предыдущими параграфами, посвящёнными работе с приложением "Калькулятор", то, вероятно, уже догадался, что обратные тригонометрические функции можно вычислить, устанавливая флажок функционального модификатора 'Inv'. Так, арксинус определяется благодаря сочетанию  , арккосинус —  , арктангенс —  . Сразу обратим внимание, что перечисленные обратные тригонометрические функции — не все. Среди "отсутствующих" выделим арксеканс, арккосеканс и арккотангенс. Покажем правила вычисления значений этих функций через такие, значения которых могут быть вычислены с помощью "Калькулятора".

Арккосеканс вычисляется через арксинус посредством соотношения (8.4):

(8.4)
Вычисление арккосеканса через арксинус
(8.4)

Арксеканс наиболее легко связывается с арккосинусом по формуле (8.5):

(8.5)
Вычисление арксеканса через арккосинус
(8.5)

Арккотангенс и арктангенс связаны равенством (8.6):

(8.6)
Вычисление арккотангенса через арктангенс
(8.6)
    • Обратные тригонометрические функции по определению возвращают величину угла, поэтому принципиально важным становится выбор нужной радиокнопки, устанавливающей интересующую единицу его измерения.

Пример 4 демонстрирует возможности "Калькулятора" по вычислению значений обратных тригонометрических функций.

  • 4

    • Задача. Показать, что для α = 0,3 и β = 0,5 справедливо равенство:


      Решение. Для проведения доказательства прямым расчётом достаточно вычислить значение какой-нибудь части равенства (например, правой), сохранить его в ячейку памяти, вычислить значение другой части и вычесть из сохранённого. Равенство, приведённое в задаче, может считаться доказанным в случае получения в качестве результата нуля или очень малого числа, наличие которого можно "списать" на погрешность вычислений. В противном случае мы опровергнем исходное равенство.

      Рассчитаем правую часть:

                

                

         

      Теперь в памяти хранится значение арксинуса из правой части. Вычислим левую часть и вычтем из значения, хранящегося в памяти:

               

      Что ж, индикатор занятости памяти не был сброшен. Придётся проверять число, хранящееся в ячейке:

       -1,5211396660251140906558004053602e-36

      35 нулей после десятичной запятой говорят о том, что число явно малое, его величина указывает на вычислительные погрешности. Поэтому будем считать, что равенство при заданных значениях аргументов доказано.

    • В условии задачи Примера 4 приведена распространённая формула, которая, однако, справедлива не при любых значениях аргументов.

      Доказательство формул прямыми вычислениями — неправильный подход к решению математических задач. Тем более, что в общем случае не всякое малое число как разность частей проверяемого равенства можно признать погрешностью вычислений. Однако обратим внимание, что в Примере 4 не требовалось доказывать формулу, а лишь проверить справедливость произвольного равенства при конкретных значениях аргументов с учётом возникающей погрешности при использовании конкретного программного средства.

Если результат вычисления обратной тригонометрической функции получен в градусах, то возможно представить его не десятичной дробью, но выражением, содержащим градусы, минуты и секунды. Подобное преобразование осуществляется благодаря нажатию кнопки .

    • После выполнения расчётов оказывается весьма важным, в каких единицах выражен ответ. Проблема заключается в том, что радиокнопки, с помощью которых осуществляется переключение единиц измерения углов, не устанавливают режим работы приложения, поэтому для "Калькулятора" отображаемый результат, выраженный в градусах ли, радианах или градах, — это просто число. Относительно функции, выполняемой по факту нажатия , это число всегда выражено в градусах, даже если "включена" радиокнопка, предлагающая использование иной единицы измерения.

Учитывая столь важное Примечание, обобщим: во всех случаях нажатием кнопки осуществляется преобразование числа, показывающего количество градусов, из десятичной формы представления в вид, содержащий градусы, минуты и секунды.

    • Эта же кнопка, по сути, позволит перевести время, выраженное в часах и их десятичных долях, в представление, содержащее часы, минуты и секунды. Ведь математическая основа для таких переводов одна!

Полученное представление обладает небольшим недостатком, ведь в нём отделёнными друг от друга будут лишь градусы и минуты. Минуты никак не отделяются от секунд, а секунды — от своих долей (десятых, сотых и т. д.). Потому это представление необходимо уметь правильно читать. Ниже покажем основные правила чтения результата, выраженного в формате "Градусы–Минуты–Секунды".

Информация о градусах предоставлена левее запятой.

Минуты представляются числом, состоящим из одной или двух цифр, расположенных сразу после запятой. Если после запятой имеется одна цифра, она показывает количество десятков минут.

Число секунд показано одной или двумя цифрами, расположенными сразу после цифр числа минут. Если количество секунд выражено одной цифрой (т. е. после запятой имеется всего три цифры), она показывает количество десятков секунд.

Цифры, начиная с пятой правее запятой и далее (если они есть), показывают десятичные доли секунды.

    • Результат, полученный с помощью , является для "Калькулятора" самым обычным числом, ведь нажатие этой кнопки не предполагает установку какого-то особого режима "толкования" числа. Потому использование этого числа в последующих расчётах не видится уместным в подавляющем большинстве случаев.

В Примере 5 приведены расчёты, в ходе которых в текстовое поле "Калькулятора" выводятся, кроме градусов, минуты и секунды, производится оценка их результатов.

  • 5

    • Задача. Показать значение угла, выраженное в градусах, минутах и секундах, если его косеканс равен 1,4.


      Решение. Если csc α = 1.4, то, чтобы определить угол, достаточно вычислить α = arccsc 1.4. По формуле (8.4) имеем α = arcsin 1/1.4. Произведём расчёт:

           45,584691402807025025888759947643.

      Осталось преобразовать это значение так, чтобы вместо десятичных долей градуса были видны минуты и секунды:

       45,350488905010529009319953581152.

      Мы видим, что искомый угол приближённо равен α ≈ 45° 35ʹ 5ʺ.

    • Из Примера 5 видно, что минуты допускается обозначать одним штрихом после их количества, секунды — двумя.

Однако "увидеть" в частях числа градусы (часы), минуты и секунды может всё та же кнопка , при условии её использования с предварительно установленным флагом функционального модификатора 'Inv'. Сочетание   позволяет преобразовать представление "Градусы–Минуты–Секунды" в обычное десятичное. Пример 6 показывает, как подобная возможность расчётов реализуется на практике.

  • 6

    • Задача. Экзамен по информатике и ИКТ длится 4 часа. Участник экзамена выполнил задания за 2 часа 38 минут 26 секунд. В течение какого максимального времени он имеет возможность проверить все свои решения и исправить ошибки?


      Решение. Для решения задачи будем вводить время так, как оно задано, в соответствии с оговоренным ранее форматом представления минут и секунд:

              1,2134.

      Ответ. У участника экзамена на проверку и исправление выполненных решений осталось не более 1 ч 21ʹ 34ʺ.

В школе не изучаются гиперболические функции и их роль, поэтому мы не будем углубляться в вопросы востребованности и особенности применения этих функций. Однако, поскольку "Калькулятор" позволяет вычислять значения гиперболических функций, покажем для них математические определения и, разумеется, методы осуществления расчётов.

Среди всех гиперболических функций выделим гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс, гиперболический котангенс. Ниже введём для них математические определения.

Гиперболический синус есть полуразность натуральных антилогарифмов с симметричными (относительно нуля) показателями — см. формулу (8.7):

(8.7)
Гиперболический синус
(8.7)

Гиперболический косинус — полусумма натуральных антилогарифмов с симметричными (относительно нуля) показателями — см. (8.8):

(8.8)
Гиперболический косинус
(8.8)

Гиперболический тангенс, как следует из отношения (8.9), представляет собой почти то же, что и тригонометрический, но в его образовании участвуют уже гиперболические синус и косинус:

(8.9)
Гиперболический тангенс
(8.9)

Гиперболический котангенс, следуя равенству (8.10), есть отношение гиперболического косинуса к гиперболическому синусу:

(8.10)
Гиперболический котангенс
(8.10)

Для расчёта значений гиперболических функций (и только для этой цели) служит функциональный модификатор 'Hyp'. Далее при записи программ вычислений будем пользоваться пиктограммой , которая укажет на необходимость установки соответствующего флага модификатора. Тогда становится возможным использование этой пиктограммы в следующих сочетаниях:   означает вычисление гиперболического синуса,   — гиперболического косинуса,   — гиперболического тангенса. Гиперболический котангенс реально вычислить, пользуясь формулой (8.10).

Расчёты, связанные с применением некоторых гиперболических функций, можно увидеть из Примера 7.

  • 7

    • Задача. Получить число e, пользуясь гиперболическими функциями.


      Решение. Из формул (8.7)…(8.10) можно выбрать две, которые позволят осуществить требуемое. Ведь если сложить гиперболические синус и косинус с аргументом 1 у каждого, то суммой будет как раз искомое e.

              2,7182818284590452353602874713527.

Обратные гиперболические функции можно получить, если в формулах (8.7)(8.10) аргумент выразить через функцию. Так, в общем-то, получают любые обратные функции. Для четырёх ранее описанных гиперболических функций покажем четыре обратные.

Гиперболический ареасинус — функция, обратная гиперболическому синусу. Рассчитывается по формуле (8.11):

(8.11)
Гиперболический ареасинус
(8.11)

Гиперболический ареакосинус — обратная функция по отношению к гиперболическому косинусу, вычисляется согласно равенству (8.12):

(8.12)
Гиперболический ареакосинус
(8.12)
    • Из формулы (8.12) видно, что гиперболический ареакосинус имеет одновременно два симметричных относительно нуля значения. "Калькулятор" будет предъявлять в качестве результата так называемое главное, положительное значение.

Гиперболический ареатангенс — функция, обратная гиперболическому тангенсу, определяющаяся соотношением (8.13):

(8.13)
Гиперболический ареатангенс
(8.13)

Гиперболический ареакотангенс — функция, обратная гиперболическому котангенсу, определяющаяся правилом (8.14):

(8.14)
Гиперболический ареакотангенс
(8.14)

Из четырёх обратных гиперболических функций только три можно вычислить непосредственно; гиперболический ареакотангенс придётся рассчитывать исключительно по формуле (8.14) ("Калькулятор" "не знает" комплексных чисел, поэтому гиперболические тангенс и котангенс связать напрямую друг через друга в данной ситуации не представляется возможным).

Вычисляя значения обратных гиперболических функций, нам придётся устанавливать флаги сразу двух функциональных модификаторов: 'Hyp' и 'Inv'.

Один из вариантов подобных расчётов можно наблюдать на Примере 8.

  • 8

    • Задача. При любом допустимом x показать, что arch x имеет симметричные относительно нуля значения.


      Решение. Пусть x = 2. Вычислим arch x:

          1,316957896924816708625046347308.

      Изменим знак результата и найдём для него гиперболический косинус:

         2.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика