§2. Позиционные системы счисления
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§2. Позиционные системы счисления


Найти репетитора

§2. Позиционные системы счисления

Имеются такие системы счисления, для которых справедливо утверждение, что значение цифры, находящейся в определённой части числа, обусловлено не только самой цифрой, но и её позицией в числе. Тогда о каждой цифре числа говорят, что она содержится в каком-либо его разряде.

    • Разряд числа — позиция в числе, нумерующаяся от запятой (точки), разделяющей целую и дробную части числа, которая определяет порядок цифры, находящейся в ней.

      Порядок цифры в числе — показатель степени основания системы счисления для того разряда числа, в котором находится данная цифра.

      Порядок числа — характеристика числа, равная порядку цифры, находящейся в старшем разряде числа.

      Старший разряд числа — разряд, содержащий ненулевую цифру с максимальным относительно других разрядов с ненулевыми цифрами порядком; или разряд, для любой цифры которого порядок установлен специальным условием как максимальный.

      Младший разряд числа — разряд, содержащий любую цифру с порядком 0 для целого числа или ненулевую цифру с минимальным относительно других разрядов с ненулевыми цифрами отрицательным порядком для дробного; или разряд, для любой цифры которого неположительный порядок установлен специальным условием как минимальный.

      Значащая цифра числа — цифра данного числа, находящаяся в любой его позиции от старшего разряда по младший (в соответствии с определениями старшего и младшего разрядов).

    • Порядок цифры в числе и есть величина, определяющая значение цифры в нём (кроме собственного значения этой цифры).

      Как следует из определений старшего и младшего разрядов, значащей цифры, — сколько бы нулей ни дописывать к целой части числа слева, порядок числа от этого не изменится. Как не изменится и оттого, что нули дописываются к дробной части числа справа.

      Как следует из определения младшего разряда, он содержит цифру с неположительным порядком. Таким образом, младший разряд целого числа содержит какую-то цифру, имеющую порядок 0 (и не больше, хотя, разумеется, и не меньше).

      Нулевая цифра алфавита может быть значащей, только если она не первая в целой части (за исключением однозначного числа 0) и не последняя в дробной части числа.

    • Все значащие цифры числа расположены от старшего разряда к младшему (или наоборот), включая их. Таким образом, значащие нули числа следует искать как бы внутри него или в младших разрядах целого числа. Число не начинается значащим нулём, если это не единственная цифра числа. Дробное число не оканчивается значащим нулём.

      Если два числа имеют разные длины своих целых частей, то они отличаются порядком, и это естественно. Однако бывают ситуации, при которых все целые числа имеют одинаковую фиксированную длину (содержат равное количество цифр), и тогда порядком они не отличаются, несмотря на возможное наличие лидирующих нулей (например, номера договоров, счетов в банке). В таких ситуациях понятия старшего и младшего разрядов уточнены дополнительным условием (что, впрочем, разрешено показанными выше определениями), а все крайние нули становятся значащими цифрами.

Рис. 2.1. Порядки цифр числа 7289,95 и порядок самого числа

Младший разряд целой части соответствует порядку 0 для находящейся в нём цифры, а старший разряд дробной части — порядку –1 (рис. 2.1). Отсюда следует, что, при последовательном расположении разрядов в числе, чем старше разряд, тем левее в числе находится соответствующая ему цифра.

Однако не всегда можно наблюдать расположение разрядов в числе, при котором старший разряд находится левее младших. В дальнейшем, если для используемых примеров отсутствуют особые оговорки, мы будем останавливаться на стандартных моделях чисел, в которых разряды расположены последовательно и старший разряд находится левее младших. На рис. 2.1 показана модель числа с последовательно расположенными разрядами; для указанного на рисунке числа можно увидеть порядки всех его цифр.

    • После сохранения числа в памяти компьютера его разряды не всегда последовательно соответствуют порядкам имеющихся в нём цифр, но это зависит, прежде всего, от архитектуры процессора. Может наблюдаться, например, такой способ сохранения целых чисел, при котором старший байт расположен правее младшего. И тогда целое число 1000101100000011 явно больше целого 1111010000000000 (оба числа содержат 16 разрядов), и, чтобы это увидеть, нам, привыкшим к последовательной записи цифр в числах (т. е. к убыванию их порядков слева направо), надо в записи каждого из чисел поменять местами правые и левые группы из 8 цифр. Дополнительно о единицах измерения количества информации см. §19 "Введения в информатику".

Из изложенного выше следует, что:

числа, целые части которых больше нуля, имеющие равное количество значащих цифр в целых частях, обладают одним и тем же порядком;

порядок числа, целая часть которого больше нуля, всегда на единицу меньше количества разрядов (значащих цифр) его целой части.

Все целые неотрицательные числа, для которых применимо понятие разряда, образуют последовательность, начинающуюся числом, содержащим единственную нулевую цифру алфавита, и являющуюся бесконечной при отсутствии каких-либо ограничений системы счисления. Тогда числа этой последовательности составляются согласно принципу цикличности построения целых чисел.

    • Принцип цикличности построения целых чисел:

      1) для образования каждого следующего числа последовательно выбираются цифры алфавита для его младшего разряда, начиная с нулевой, пока они не будут исчерпаны;

      2) затем для разряда с цифрой большего на единицу порядка выбирается очередная цифра алфавита (если это возможно, иначе шаг 4), при этом все младшие относительно него разряды заполняются нулевой цифрой;

      3) процесс шага 1 и шага 2 повторяется со всеми рассмотренными разрядами по возрастанию порядков их цифр до тех пор, пока цифры алфавита для старшего разряда не будут исчерпаны;

      4) затем новый разряд заполняется очередной значащей цифрой, становясь старшим, с одновременным заполнением нулевыми цифрами всех младших разрядов; и

      5) процесс повторяется со всеми разрядами, включая вновь образованный, по шагу 3.

    • Обращаем особое внимание на то, что в принципе цикличности построения целых чисел шаг 2 и шаг 4 — одно и то же, просто сформулированы эти шаги немного по-разному. Ведь изначально можно предполагать, что любое число содержит бесконечное количество более старших разрядов, заполненных нулями, — такой подход отражает формулировка шага 2. А если предполагать, что с увеличением количества чисел количество разрядов в них также увеличивается, то этому подходу лучше соответствует формулировка шага 4.

      Не во всех алфавитах в качестве нулевой цифры используется привычный нам 0, именно поэтому в принципе цикличности построения целых чисел так официально сказано о "нулевой цифре". См. Пример 1, чтобы убедиться в этом.

      Все цифровые алфавиты обязаны содержать не менее двух цифр, одна из которых является нулевой, иначе понятие разряда при построении чисел обеспечить не удастся.

В Примере 1 показано, как применяется принцип цикличности построения целых чисел для системы счисления с немного необычным алфавитом.

  • 1

    • Задача. Имеется алфавит системы счисления, предполагающей наличие разрядов в своих числах и построение бесконечного количества целых чисел:

      ЦифраD@6
      Номер цифры0123

      Пользуясь принципом цикличности построения целых чисел, составить первые 20 неотрицательных целых чисел, записываемых по правилам этой системы счисления.


      Решение. Представленную систему счисления можно назвать четверичной, поскольку в её алфавите 4 цифры.

      Первым неотрицательным целым числом является, естественно, образованное нулевой цифрой алфавита, т. е. в данном случае D. Пользуясь первым шагом принципа, получаем ещё три последовательных однозначных числа: @, 6, ≫. Теперь алфавит системы счисления оказывается исчерпанным, потому переходим ко второму шагу.

      В разряде, порядок цифры которого больше порядка цифры заполнявшегося разряда, ничего нет, и это означает, что в нём всё-таки имеется цифра D как нулевая. Меняя цифру в этом разряде с D на @, обнуляя младший разряд, получаем пятое число: @D. Переходим к шагу 3, который возвращает нас к шагу 1, но с новым старшим разрядом.

      Согласно шагу 1, младший разряд заполняется далее цифрами, последовательно взятыми из алфавита. Получаем шестое, седьмое и восьмое числа: @@, @6 и @≫. Опять переходим к шагу 2, получаем девятое число 6D, переходим к шагу 1, получаем десятое, одиннадцатое и двенадцатое числа: 6@, 66, 6≫. Вновь шаг 2: тринадцатое число ≫D, и на шаге 3 — 14-е, 15-е и 16-е числа ≫@, ≫6, ≫≫. Алфавит для старшего разряда исчерпан.

      А это означает всего лишь переход к 4-му шагу, который предписывает образовать новый старший разряд. Таким образом, семнадцатое число — @DD. Следует переход к пятому шагу.

      А пятый шаг возвращает нас к третьему, и, значит, к первому, с помощью которого получаем оставшиеся три числа: @D@, @D6, @D≫.

      Задание выполнено, числа содержатся в решении.

Рис. 2.2. Начало традиционного алфавита

Системы счисления можно классифицировать как основанные на традиционном алфавите, так и на произвольном. Полный традиционный алфавит последовательно включает в себя знаки ряда, содержащего цифры алфавита десятичной системы счисления и следующие за ними символы стандартной латиницы (рис. 2.2). Алфавит той или иной системы счисления называется традиционным, если он совпадает с началом полного традиционного алфавита.

    • Считается, что цифр полного традиционного алфавита вполне достаточно для наиболее употребительных систем счисления. Бывает так, что их оказывается мало, но в этих случаях применяются алфавиты, в которых знаки организованы совершенно по иным правилам. Так, другие алфавиты используются в некоторых вариантах представления чисел с помощью компьютера.

      В Примере 1 система счисления не была основана на традиционном алфавите.

Рис. 2.3. Десятичные индексы при числах

Весьма часто используются системы счисления с разными основаниями. Да и в наших последующих вычислениях будут использоваться числа, записанные по правилам различных систем счисления, а не только десятичной. Начала алфавитов многих систем счисления (в общем случае — бесконечного множества систем счисления!) часто полностью совпадают. Значит, числа, записанные при помощи символов алфавитов разных систем счисления, будут содержать цифры, совпадающие по написанию. Значение цифры определяется не только ею самой, но и её позицией в числе и значением самой позиции, а значение позиции определяется мощностью алфавита. По этой причине рядом с числом необходимо указывать индекс, численно равный основанию соответствующей системы счисления. Этот индекс всегда выражается десятичным числом (на рис. 2.3 индексы выделены красным цветом).

    • Если в выражении имеются числа, записанные по правилам одной и той же системы счисления, и при этом в формулировке, предшествующей выражению, указано основание системы счисления для присутствующих в нём чисел, индексы при числах допустимо не указывать.

Более подробно рассмотрим структуру десятичного числа.

Младший разряд целого числа во всех системах счисления, позволяющих осуществить выделение разрядов в числах, называется разрядом единиц. Названия других разрядов приводятся ниже только для десятичной системы счисления и не распространяются на системы счисления с отличающимися основаниями.

Разряд с порядком цифры, равным единице, называется разрядом десятков, следующий (справа налево) — разрядом сотен.

Каждый разряд как позиция числа отвечает на вопрос: сколько в числе полных десятков (сотен и т. д.)?

Каждые три следующих друг за другом разряда целого числа, считая справа налево, образуют класс. Название младшего разряда числа совпадает с названием класса. Понятно, что младший класс чисел десятичной системы называется классом единиц.

Рис. 2.4. Разряды и классы десятичного числа

Следующий класс (естественно, справа налево) называется классом тысяч. Таким образом, разряд с порядком цифры, равным трём (он же младший в этом классе), называется разрядом тысяч (или, точнее, разрядом единиц тысяч). Далее названия разрядов частично повторяются: десятков тысяч, сотен тысяч (см. рис. 2.4).

Вот некоторые следующие названия классов: миллионов, миллиардов, триллионов, квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов… На рис. 2.4 изображена структура числа 248 104 370 002 635 091 736.

Мы видим, что:

названия младших разрядов своих классов совпадают с названиями соответствующих классов, к которым принадлежат;

средние разряды своих классов имеют в названии слово "десятки", комбинирующееся с названиями классов, к которым относятся (исключение составляют разряды, относящиеся к классу единиц);

старшие разряды каждого класса имеют в названии слово "сотни", комбинирующееся с названиями классов, к которым относятся (исключение составляют разряды класса единиц).

Разряды правее запятой (точки), разделяющей целую и дробную части числа, именуются по названиям дробей, образуемых от названия разряда, симметричного данному относительно разряда с порядком цифры, равным нулю: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д.

В Примере 2 предложена характеристика четырёхзначного десятичного числа.

  • 2

    • Задача. Охарактеризовать десятичное число 1725.


      Решение. Данное число — целое четырёхразрядное, содержит разряды двух классов. Его порядок равен трём, т. к. старший разряд (в котором находится цифра 1) — разряд тысяч, т. е. 103. Порядки цифр числа представлены в таблице.

      Цифра числа1725
      Порядок цифры3210

Если правила системы счисления предполагают возможность выделения разрядов в числе, то каждая цифра числа интерпретируется следующим образом: всякое число можно определить в виде суммы произведений чисел, образованных десятичными эквивалентами каждой входящей в исходное число цифры, и множителей, содержащих основание системы счисления, возведённое в степени, показателями которых являются порядки соответствующих цифр.

Следуя этому утверждению, для некоторого положительного числа слагаемое, выделенное из общей суммы, которое имеет вид 3 × 104, означает, что: 1) исходное число является десятичным (ведь основание степени равно десяти); 2) в числе есть, как минимум, три полных десятка тысяч, т. е. оно не меньше 30000.

Запись одного этого слагаемого сама по себе является числом, представленным в стандартном виде.

Напомним, что такое стандартный вид числа в общем случае.

    • Стандартный вид числа — запись числа в форме a × kn, где мантисса a: 0 ≤ ∣a∣ < k, основание k: k > 1, k ∈ N, порядок n ∈ Z.

    • В качестве основания намеренно выбрано натуральное и большее единицы число k, а не 10, поскольку теперь мы представляем в стандартном виде не только десятичные числа.

Если число представлено в виде суммы произведений, в каждом из которых одним из множителей является десятичный эквивалент очередной входящей в исходное число цифры, а вторым — множитель, являющийся основанием системы счисления в степени, показатель которой есть порядок соответствующей цифры, то говорят, что оно записано в системном виде.

    • Системный вид числа — десятичная запись числа в виде суммы стандартных видов, в которых все мантиссы являются номерами цифр этого числа в алфавите, основания соответствуют основанию системы счисления, по правилам которой число представлено, а порядки соответствуют порядкам каждой цифры.

    • Входящие в системный вид числа стандартные виды имеют дополнительные ограничения. Так, мантисса должна быть целой и неотрицательной: a ∈ Z, 0 ≤ a < k.

    • Системный вид записывается только в десятичной форме, потому вместо цифр алфавита системы счисления должны быть представлены их десятичные номера в алфавите. По этой же причине в системном виде никогда не записываются индексы при числах.

В системном виде старшим показателем называется наибольший показатель из всех входящих в сумму стандартных видов, т. е. порядок числа.

Выражение числа системным видом лучше описывает формула (2.1), в которой an — очередная цифра числа, имеющая порядок n, а mk — само число, записанное по правилам k-ичной системы счисления.

(2.1)
Системный вид числа
(2.1)

Системный вид неотрицательного числа, представленного по правилам некоторой системы счисления, обладает нижеперечисленными свойствами:

все мантиссы являются неотрицательными целыми числами;

количество слагаемых (т. е. стандартных видов) равно количеству цифр в числе, включая дробную его часть (с учётом нулевых цифр; допускается, правда, не создавать слагаемые для нулевых цифр);

старший показатель всегда на единицу меньше количества значащих цифр целой части числа;

стандартный вид, имеющий в мантиссе каждую последующую (слева направо) цифру числа, содержит порядок, на единицу меньший порядка стандартного вида, имеющего в мантиссе предыдущую цифру — при условии последовательного распределения разрядов в числе (учитывая нулевые цифры).

Из нижеследующих Примеров 3 и 4 можно увидеть, как разные числа представляются в системном виде. При этом, если Пример 3 показывает системный вид десятичного числа, то в Примере 4 демонстрируется четверичное число, для записи которого используется нестандартный алфавит, — одно из чисел, построенное в Примере 1.

  • 3

    • Задача. Представить в системном виде десятичное число 172,5.


      Решение. 172,510 = 1 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100 + 5 × 10–1.

  • 4

    • Задача. Имеется алфавит системы счисления, предполагающей наличие разрядов в своих числах и построение бесконечного количества целых чисел:

      ЦифраD@6
      Номер цифры0123

      Представить в системном виде число, записанное по правилам данной системы счисления: @D≫.


      Решение. Предложенная система счисления является четверичной, поскольку в её алфавите 4 цифры. Перепишем данное число знаками традиционного алфавита: 1034. Теперь можно осуществить требуемое представление:

      1034 = 1 × 42 + 0 × 41 + 3 × 40.

В настоящем параграфе мы рассмотрели организацию чисел систем счисления, называемых позиционными.

    • Позиционная система счисления — система счисления, позволяющая представлять числа в соответствии с понятием разряда.

    • Разряд — это позиция. Если система счисления является позиционной, значит, она учитывает понятие разряда при представлении по своим правилам чисел, и это видно из самого названия её типа.

Опишем основные признаки позиционных систем счисления. Для них характерно:

(1) количество символов (цифр) в их алфавитах больше одного;

(2) в их алфавитах имеется цифра, указывающая на нулевое значение разряда числа (так называемая нулевая цифра);

(3) обеспечивается построение целых и дробных чисел, для которых возможно представление в системном виде (другими словами, в любом числе, записанном по правилам данной системы счисления, можно выделить разряды и, следовательно, определить порядки цифр);

(4) в составляемом числе любая цифра может быть записана в любой разряд (первое следствие принципа цикличности построения целых чисел);

(5) любая цифра может повторяться в числе неограниченное количество раз (т. е. находиться в нескольких разрядах одновременно — второе следствие принципа цикличности построения целых чисел);

(6) представление числа уникально (единственно) в рамках одной и той же системы счисления (третье следствие принципа цикличности построения целых чисел).

    • Отметим, что система счисления, обладающая четвёртым и пятым признаками позиционной системы, так или иначе имеет и остальные признаки, поскольку упомянутые признаки используют понятие разряда как необходимую данность. Если в некоторой системе счисления будут установлены ограничения на запись цифры в какой-либо разряд или на повторяемость цифры в числе, это не значит, что система счисления перестанет быть позиционной.

Считается, что количество разрядов, используемых для построения числа, бесконечно. Но, если позиционная система счисления ограничивает своими правилами количество разрядов в числе или заполнение разрядов цифрами, то она будет называться позиционной на заданном числовом множестве.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика