§3. Непозиционные системы счисления
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§3. Непозиционные системы счисления




§3. Непозиционные системы счисления

В предыдущем параграфе было показано, что представляют собой позиционные системы счисления. В нём были перечислены и признаки, по наличию которых можно отличить позиционную систему счисления от какой-нибудь другой. Теперь определим, что такое непозиционные системы счисления и поразмышляем над тем, чем грозит отсутствие какого-либо ранее указанного признака у рассматриваемой системы счисления.

    • Непозиционная система счисления — такая система счисления, которая не предполагает выделение разрядов в числах, образованных по её правилам.

    • Следствием определения непозиционной системы счисления является невозможность представления образованных по её правилам чисел в системном виде.

Представим себе ситуации, в которых применительно к рассматриваемой системе счисления не относится тот или иной признак позиционной системы. Отсутствие некоторых признаков у системы счисления, перечисленных в предыдущем параграфе, оформим в виде комментариев ниже.

Пусть в алфавите системы счисления имеется только одна цифра. Тогда возможны два основных варианта. 1) Если это нулевая цифра (как 0 в десятичной системе), то нельзя построить ни одного числа, кроме нуля. 2) Если это цифра, не указывающая на нулевое значение разряда, то понятие порядка (значит, и разряда) становится неприменимым, т. к. единица в любой степени равна единице. Значение такого числа равно количеству цифр в нём. Кроме того, см. следующий комментарий.

Пусть в алфавите системы счисления отсутствует цифра, указывающая на нулевое значение разряда. Тогда станет невозможной запись нулевого числа (т. е. числа 0 в десятичной системе). Это, однако, не самый весомый аргумент: вспомним, что при построении строк нулевой символ тоже не используется, но он иногда нужен как отсутствующий символ при сравнении строк (см. §23 "Введения в информатику"). Да и включить нулевой символ можно в любое место строки и в любом количестве — от этого ничего не изменится, ведь нулевой символ — отсутствующий символ! Получается, что числа, составленные при полном отсутствии нулевой цифры, являются строками, в какую бы сторону они не читались — слева направо или наоборот. Классическим примером чисел-строк являются числа, составленные по правилам римской нумерации (см. ниже).

Невозможность выделения разрядов в числе, т. е. назначения порядков цифрам, полностью соответствует определению непозиционной системы счисления. В этом случае каждая цифра добавляет (или, наоборот, отнимает) по отношению к числу исключительно своё собственное значение. В соответствии с определением алфавита (см. §23 "Введения в информатику") количество его цифр не может быть бесконечно большим, следовательно, при наличии соответствующих правил системы счисления естественно существование максимального числа, которое можно представить её средствами. Такое явление тоже можно наблюдать на примере римской нумерации (см. ниже, в частности, Примеры 2 и 5).

Возможность неоднозначной записи одного и того же числа может быть разрешена правилами системы счисления, но такая избыточность представляется весьма странным явлением при использовании одного алфавита. Если одно и то же число можно представить несколькими способами, то понятие разряда в этом случае утрачивает свою роль, и потому система не может называться позиционной.

Из Примера 1 видно, какие правила можно положить в основу вновь создаваемой непозиционной системы счисления и какие числа могут быть образованы с её помощью.

  • 1

    • Задача. Имеется система счисления, основанная на приведённом в таблице алфавите (в ней также показаны десятичные идентификаторы цифр для представления построенных чисел в десятичной форме).

      Цифра алфавита системы счисленияASUZ
      Десятичный идентификатор цифры1258

      В этой системе счисления существуют следующие правила составления чисел (при определении местонахождения цифры предполагается чтение числа слева направо). На последнем месте в числе может быть одна из цифр A, S или Z. Если число двузначное или трёхзначное, то на предпоследнем месте может находиться любая из цифр S, U, Z. Если же число трёхзначное, то первой его цифрой может быть A, U или Z, и притом никакая из них не может ещё хотя бы раз повториться в числе. Числа не могут содержать более трёх цифр. Построенное таким способом число представляется в десятичной форме суммой десятичных идентификаторов имеющихся в нём цифр. Какое максимальное десятичное число может быть эквивалентом одного из возможных чисел, образованных по правилам данной системы счисления?


      Решение. Для образования числа, эквивалентом которого является максимально возможное десятичное, нужно составлять его из трёх цифр (ведь по правилам системы счисления большего количества цифр в числе быть не может). Кроме того, среди этих цифр должны быть две равные, десятичные идентификаторы которых самые большие (Z). Не три, поскольку цифра, находящаяся в числе на первом месте, не может повторяться. Для первой позиции числа выберем следующую по значимости цифру U. Получилось число UZZ, эквивалентное десятичному числу 21. Простой перестановкой цифр этого числа не получится построить равное число, а при использовании других цифр — большее число.

      Ответ. 21.

    • Показанная в Примере 1 система счисления характеризуется как непозиционная хотя бы потому, что числом фактически является сумма цифр вне зависимости от того, как эти цифры в числе расположены.

Классическим примером непозиционной системы счисления является римская нумерация. В настоящее время она применяется, пожалуй, только для записи заведомо небольших порядковых числительных (например, V том собрания сочинений, или XXVII съезд КПСС, — оказавшийся, кстати, последним), потому её ограниченность не играет слишком важной роли.

Цифры римской нумерации

Рис. 3.1. Цифры римской нумерации

Алфавит римской системы счисления включает 7 цифр, имеющих начертание в виде латинских букв (алфавит римской системы частично заимствует стандартный латинский), каждая из которых имеет десятичный идентификатор: I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 (рис. 3.1).

Для записи чисел в римской системе используется ряд правил, которые, взятые вместе, характеризуют её как непозиционную. Кроме того, следует отметить, что эта нумерация предназначена для представления только целых положительных чисел.

Правила построения чисел в римской системе счисления излагаются далее.

Рис. 3.2. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(1) Представление числа цифрами алфавита римской нумерации уникально. Это означает, что с помощью римских цифр нельзя записать одно и то же число более чем одним способом, см. рис. 3.2.

Остальные правила лишь определяют, как можно создавать числа так, чтобы одно не повторяло другое.

Рис. 3.3. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(2) В любом числе каждая из цифр I, X, C, M не может повторяться более трёх раз подряд и четырёх раз вообще (числа CCC и CCCXC записаны верно, числа IIII и CCCXCC записаны неверно, см. рис. 3.3).

Рис. 3.4. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(3) В любом числе каждая из цифр V, L, D не может быть определена более одного раза (числа DC и DL записаны верно, число VV записано неверно, см. рис. 3.4).

Рис. 3.5. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(4) Перед цифрой, имеющей большее значение, может быть определена только одна цифра, имеющая меньшее значение (число IV записано верно, число IIV записано неверно, см. рис. 3.5).

Рис. 3.6. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(5) Если перед цифрой, имеющей большее значение, определена цифра, имеющая меньшее значение, то последней упомянутой может быть только одна из цифр I, X, C (число IX записано верно, число VX записано неверно, см. рис. 3.6).

Рис. 3.7. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(6) Если перед цифрой, имеющей большее значение, определена цифра, имеющая меньшее значение, то после большей цифры в этой паре может следовать цифра, имеющая значение меньше того, которое имеет меньшая цифра пары (число CDX представлено верно, число CDC записано неверно, см. рис. 3.7).

Рис. 3.8. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(7) Если цифра упоминалась в числе как меньшая, определённая перед большей, то она не может быть ещё хотя бы один раз упомянута (читая слева направо) в этом числе, кроме ситуации, когда она выступает в роли большей цифры, следующей за меньшей (число CDXC записано верно, число CDCC представлено неверно, см. рис. 3.8).

Рис. 3.9. Как можно и как нельзя записывать числа римскими цифрами

(8) Если перед большей цифрой определена меньшая цифра, их десятичные идентификаторы должны различаться не более чем в 10 раз (числа XCIX (99) и CDXC (490) записаны верно, попытка представить эти же числа как IC и XD соответственно окажется неправильной, см. рис. 3.9).

(9) Число представляется суммой значений входящих в него цифр за вычетом значений тех из них, которые определены как меньшие перед бо́льшими (например, число CCCXC эквивалентно 100 + 100 + 100 – 10 + 100 = 390).

    • Прямым следствием правил образования чисел римской нумерации является тот факт, что каждая цифра определённого разряда десятичного числа всегда соответствует одной и той же комбинации римских цифр. Например, цифре 4 в разряде единиц десятичного числа соответствует комбинация IV, этой же цифре в разряде десятков — комбинация XL, а ей же в разряде сотен — CD (см. Пример 2).

  • 2

    • Задача. Составить таблицу, в которой показать все комбинации римских цифр, соответствующие каждой ненулевой десятичной цифре, помещённой в любой возможный разряд десятичного числа.


      Решение. Пользуясь правилами образования римских чисел, составим такую таблицу:

       Разряд единицРазряд десятковРазряд сотенРазряд тысяч
      1IXCM
      2IIXXCCMM
      3IIIXXXCCCMMM
      4IVXLCD
      5VLD
      6VILXDC
      7VIILXXDCC
      8VIIILXXXDCCC
      9IXXCCM

Из Примеров 3 — 5 можно увидеть, как осуществляются преобразования представлений чисел из привычной десятичной системы счисления в римскую, и наоборот. Пример 5 показывает, как ограничения римской нумерации сказываются на количестве воспроизводимых чисел.

  • 3

    • Задача. Записать десятичное число 1478 с помощью правил римской нумерации.


      Решение. Учитывая десятичные идентификаторы римских цифр, запишем исходное число в виде алгебраической суммы следующих слагаемых:

      1478 = 1000 + (500 – 100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

      Данные слагаемые полностью соответствуют структуре числа, записываемого римскими цифрами: MCDLXXVIII.

      Ответ. MCDLXXVIII.

  • 4

    • Задача. Записать десятичное число, равное представленному римской нумерацией MMCDXLIX.


      Решение. Запишем число в виде алгебраической суммы входящих в римское представление десятичных идентификаторов цифр:

      1000 + 1000 – 100 + 500 – 10 + 50 – 1 + 10 = 2449.

      Ответ. 2449.

  • 5

    • Задача. Записать максимально возможное число, которое представляется символами римской нумерации.


      Решение. Воспользуемся вторым правилом римской системы, применив его к наибольшей по значению цифре. Тогда в числе будут присутствовать три цифры M, следующие подряд, и ещё одна, перед которой можно поставить единственно возможную C (см. пятое и восьмое правила): MMMCM…

      Согласно второму, шестому и седьмому правилам, нельзя дописать к полученной части числа цифры M, D и C непосредственно, но по пятому правилу можно добавить XC, что само по себе больше конструкций, содержащих L: MMMCMXC…

      В соответствии с теми же правилами, к полученной части числа нельзя дописать M, D, C и L, но по пятому и восьмому правилам можно добавить максимально возможное IX: MMMCMXCIX.

      Больше к числу добавить ничего нельзя. В итоге при пересчёте в десятичную систему согласно девятому правилу имеем:

      1000 + 1000 + 1000 – 100 + 1000 – 10 + 100 – 1 + 10 = 3999.

      Ответ. 3999.

      Это число можно было построить, воспользовавшись таблицей из Примера 2.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика