§6. Сложение и вычитание двоичных чисел
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§6. Сложение и вычитание двоичных чисел


Найти репетитора

§6. Сложение и вычитание двоичных чисел

Учась в первом классе школы, складывая десятичные числа, мы, хотели того или нет, запоминали кажущиеся теперь простые правила. Одно из них приведём в качестве примера: "если к числу, оканчивающемуся цифрой 6, прибавить число, оканчивающееся на 8, получится число, оканчивающееся на 4…" И если подобные правила буквально в таких формулировках в своё время мы не слышали, всё-таки в один прекрасный момент научились ими пользоваться. В десятичной системе таких правил, учитывая неизменность результата от перестановки слагаемых (коммутативность), — целых пятьдесят пять! В двоичной же системе аналогичных правил всего три, они показаны в табл. 6.1. Прокомментируем их.

+01
001
11↶0

Табл. 6.1. Правила сложения однозначных двоичных чисел

Если к числу, оканчивающемуся нулём, прибавить число, тоже оканчивающееся нулём, то результат будет оканчиваться нулём (в сокращённой записи это выглядит как …0 + …0 = …0).

Если к числу, оканчивающемуся нулём, прибавить число, оканчивающееся единицей, то результат будет оканчиваться единицей (т. е. …0 + …1 = …1 + …0 = …1).

Если к числу, оканчивающемуся единицей, прибавить число, также оканчивающееся единицей, то результат будет оканчиваться нулём и при этом произойдёт явление переноса в следующий разряд (т. е. …1 + …1 = …↶0).

    • Явление переноса состоит в том, что при сложении цифр двух чисел, имеющих равные порядки, результат сложения в более старшем разряде должен быть увеличен на единицу. Например, перенос наблюдается при сложении десятичных чисел 5 и 7: 5 + 7 = ↶2; десятичных 29 и 14: 29 + 14 = ↶3.

Результат сложения двоичных чисел можно проверить переводом в десятичную форму.

Сложение трёх и более цифр одного разряда выполняется так, что сначала складываются две из них, затем к результату прибавляется следующая, и т. д.

Из Примера 1 можно увидеть, как выполняется сложение двух двоичных чисел, при вычислении которого образуются переносы, а из Примера 2 — трёх чисел.

  • 1

    • Задача. Сложить двоичные числа 110100 и 10111.


      Решение. Запишем числа друг под другом, выравнивая их по младшим разрядам (так можно сказать, поскольку оба числа целые):

       11 1    (переносы)
      + 110100 (первое число)
        10111 (второе число)
       1001011 (результат)

      Заметим, что в случае появления переноса в одном и том же разряде складывается уже до трёх цифр. Проверим вычисления переводом слагаемых и результата в десятичное представление:

      1101002 = 5210,

      101112 = 2310,

      10010112 = 7510,

      5210 + 2310 = 7510, что подтверждает правильность вычислений.

      Ответ. 1001011.

  • 2

    • Задача. Вычислить: 10112 + 110012 + 1112.


      Решение. Запишем числа друг под другом, выравнивая их по младшим разрядам (так можно сказать, поскольку все числа целые):

       11111  (переносы)
      +  1011 (первое число)
       11001 (второе число)
         111 (третье число)
       101011 (результат)

      Теперь иногда приходится складывать до четырёх цифр в одном разряде.

      Проверим результат сложения переводом в десятичную форму:

      10112 = 1110,

      110012 = 2510,

      1112 = 710,

      1010112 = 4310,

      1110 + 2510 + 710 = 4310, что указывает на правильность произведённых расчётов.

      Ответ. 1010112.

Дробные двоичные числа складываются точно так же. Заметим только, что при записи "в столбик" числа выравниваются относительно двоичной запятой, как, собственно, и при сложении по правилам десятичной системы.

    • В любой позиционной системе счисления применяются одинаковые правила сложения и вычитания, предполагающие поразрядные операции с числами: операция выполняется над цифрами из эквивалентных разрядов. Неудивительно, ведь такие системы счисления называются позиционными (см. §2)!

  • 3

    • Задача. Сложить двоичные числа 1011,1 и 10,101.


      Решение.

        111     (переносы)
      +1011,1   (первое число)
        10,101 (второе число)
       1110,001 (результат)

      Выполняя проверку, находим:

      1011,12 = 11,510,

      10,1012 = 2,62510,

      1110,0012 = 14,12510,

      11,510 + 2,62510 = 14,12510, значит, в вычислениях ошибок нет.

      Ответ. 1110,001.

При вычитании двоичных чисел действуют правила, вытекающие из правил сложения:

при вычитании чисел, оканчивающихся одинаковыми цифрами, результат будет оканчиваться нулём (…1 – …1 = …0 – …0 = …0);

в случае осуществления вычитания чисел, оканчивающихся разными цифрами, разность будет оканчиваться единицей, при этом в случае вычитания …0 – …1 будет наблюдаться явление заёма из более старшего разряда, в котором есть ненулевая цифра — единица (…1 – …0 = …1, …0 – …1 = …↷1).

При вычитании целых и дробных чисел запись "в столбик" выполняется так, чтобы они были выровнены по двоичной запятой (как и при сложении).

Чтобы убедиться в правильности вычислений, всегда можно сделать проверку. Правда, она может быть выполнена не только путём перевода двоичных чисел в десятичное представление, но и сложением двоичных чисел (проверка сложением в большинстве следующих примеров отсутствует). В Примерах 4 и 5 показано, как выполняется вычитание целых чисел, а в Примере 6 – дробных. В Примере 4 можно видеть образцы обоих предложенных видов проверки.

  • 4

    • Задача. Произвести вычитание чисел 110102 и 1012.


      Решение.

           (заёмы)
      11010 (уменьшаемое)
        101 (вычитаемое)
       10101 (результат)

      Сделаем проверку переводом чисел в десятичное представление:

      110102 = 2610,

      1012 = 510,

      101012 = 2110,

      2610 – 510 = 2110. Вычисления сделаны верно.

      Сделаем проверку методом сложения разности и вычитаемого:

        1 1  (переносы)
      +10101 (значение разности)
        101 (значение вычитаемого)
       11010 (значение уменьшаемого)

      Сумма сходится со значением уменьшаемого.

      Ответ. 101012.

  • 5

    • Задача. Произвести вычитание чисел 100002 и 112.


      Решение.

            (заёмы)
      10000 (уменьшаемое)
         11 (вычитаемое)
        1101 (результат)

      Проверка:

      100002 = 1610,

      112 = 310,

      11012 = 1310,

      1610 – 310 = 1310. Вычитание чисел выполнено правильно.

      Ответ. 11012.

  • 6

    • Задача. Выполнить вычитание дробных двоичных чисел 10,11 и 110,101.


      Решение. Заметим, что при вычитании двоичных чисел, как и в десятичной системе счисления, требуется вычесть из большего по абсолютной величине числа меньшее, а затем сделать результат отрицательным, если на деле из меньшего числа вычитается большее:

            (заёмы)
      110,101 (уменьшаемое)
       10,11  (вычитаемое)
        11,111 (результат)

      Так как числа вычитаются наоборот, то результат должен быть отрицательным:

      10,11 – 110,101 = –11,111.

      В ходе проверки устанавливается, что:

      10,112 = 2,7510,

      110,1012 = 6,62510,

      –11,1112 = –3,87510,

      2,7510 – 6,62510 = –3,87510. Проверка подтверждает, что вычитание выполнено без ошибок.

      Ответ. –11,111.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика