§7. Умножение и деление двоичных чисел
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§7. Умножение и деление двоичных чисел




§7. Умножение и деление двоичных чисел

×01
000
101

Табл. 7.1. Правила умножения однозначных двоичных чисел

Для умножения двоичных чисел действуют правила, которые полностью совпадают с аналогичными, применяемыми к десятичным числам (табл. 7.1):

при умножении на нуль получается нуль;

при умножении единицы на единицу получается единица.

Ход вычисления произведения двух двоичных чисел можно увидеть из Примера 1.

    • Результат умножения можно проверить так же, как мы проверяли правильность осуществлённого сложения в предыдущем параграфе: выполнением умножения тех же чисел, представленных в десятичной форме.

  • 1

    • Задача. Перемножить двоичные числа 1011 и 101.


      Решение.

        ×1011 (первый множитель)
         101 (второй множитель)
      + 1     (переносы сложения)
        1011 (результат умножения единицы числа 101 на 1011)
       0000  (результат умножения нуля числа 101 на 1011)
      1011   (результат умножения единицы числа 101 на 1011)
       110111 (произведение)

      Заметим, что строку нулей, получаемую при умножении нуля разряда двоек второго числа на первое число, можно не писать (в последующих примерах мы так и будем поступать):

        ×1011 (первый множитель)
         101 (второй множитель)
      + 1     (переносы сложения)
        1011 (результат умножения единицы числа 101 на 1011)
      1011   (результат умножения единицы числа 101 на 1011)
       110111 (произведение)

      Проверим вычисления:

      10112 = 1110,

      1012 = 510,

      1101112 = 5510,

      1110 × 510 = 5510, что подтверждает правильность вычислений.

      Ответ. 110111.

При записи чисел "в столбик" необходимо, как и с десятичными, выровнять их так, чтобы крайние правые ненулевые цифры оказались друг под другом (см. Пример 2).

  • 2

    • Задача. Найти произведение чисел 1102 и 1010002.


      Решение. Запишем числа так, чтобы имеющие наименьшие порядки их ненулевые цифры оказались друг под другом:

       × 110    (первый множитель)
       101000  (второй множитель)
      +  11     (результат умножения единицы числа 101000 на 11)
      11       (результат умножения единицы числа 101000 на 11)
       11110000 (произведение)

      Проверим вычисления:

      1102 = 610,

      1010002 = 4010,

      111100002 = 24010,

      610 × 4010 = 24010, вычисления выполнены верно.

      Ответ. 111100002.

При умножении дробных чисел необходимо вычислить результат, не обращая внимания на двоичные запятые, и затем в произведении определить столько знаков после запятой, сколько их имеется в обоих числах вместе (см. Пример 3). После этого можно удалить крайние правые нули дробной части, если они есть.

  • 3

    • Задача. Выполнить умножение дробных двоичных чисел 11,1 и 10,011.


      Решение. Запишем числа друг под другом, выровненные по правому краю и без двоичных запятых:

         ×  111 (первый множитель)
         10011 (второй множитель)
      +111111   (переносы сложения)
           111 (результат умножения единицы числа 10011 на 111)
          111  (результат умножения единицы числа 10011 на 111)
       111     (результат умножения единицы числа 10011 на 111)
       10000101 (произведение)

      Поскольку в двух исходных числах справа от запятых находятся в совокупности 4 знака, то и в произведении нужно отделить 4 знака после двоичной запятой. Таким образом, реальным результатом умножения двух исходных двоичных чисел является

      11,1 × 10,011 = 1000,0101.

      Проверим вычисления:

      11,12 = 3,510,

      10,0112 = 2,37510,

      1000,01012 = 8,312510,

      3,510 × 2,37510 = 8,312510. Умножение двоичных чисел выполнено без ошибок.

      Ответ. 1000,0101.

Деление двоичных чисел, как и десятичных, выполняется при записи чисел "углом". Для выполнения действия необходимо в делимом выбрать первую часть числа, которая совпадает с делителем по количеству знаков, — если число, образованное этими знаками, не меньше делителя. В противном случае выбирается такая первая часть числа, в которой знаков на один больше, чем в делителе. В обоих случаях первая цифра частного равна единице, но не тогда, когда делимое меньше делителя: лишь в этом случае первой цифрой частного будет 0, и это означает, что частное содержит нуль целых. Далее деление производится так же, как и в десятичной системе. Не сто́ит забывать, что цифры частного — это лишь 1 или 0. Как, впрочем, и любые цифры, записываемые при делении "углом" двоичных чисел.

В Примерах 4 и 5 мы можем наблюдать процесс обычного деления двоичных чисел без остатка.

  • 4

    • Задача. Разделить число 11002 на 112.


      Решение. Выполним деление "углом":

      110011 
      11  100
          0   

      Проверка показывает:

      11002 = 1210,

      112 = 310,

      1002 = 410,

      1210 ÷ 310 = 410, что означает правильность выполнения действия.

      Ответ. 1002.

  • 5

    • Задача. Найти частное от деления двоичных чисел 1001011 на 101.


      Решение.

      1001011101 
       101   1111
       1000      
        101      
         111     
         101     
          101    
          101    
             0    

      Проверка:

      10010112 = 7510,

      1012 = 510,

      11112 = 1510,

      7510 ÷ 510 = 1510. Деление осуществлено правильно.

      Ответ. 1111.

В Примере 6 реализован процесс деления двоичных чисел с остатком. Результат деления с остатком может быть записан в виде двоичной дроби с использованием запятой (точки) и обыкновенной дроби. Показаны оба варианта записи частного.

  • 6

    • Задача. Произвести деление двоичных чисел 1111 и 100 с остатком, выразить результат двоичной и обыкновенной дробями.


      Решение. Для того, чтобы записать частное в виде обыкновенной дроби, достаточно делить числа до тех пор, пока в ходе вычислений образуется целая часть частного:

      1111100
      100 11 
       111   
       111   
         11   

      Целой частью обыкновенной дроби является частное, её числителем — остаток, а знаменателем — делитель. Выходит, что мы получили дробь (11 11/100)2. Продолжим деление, чтобы получить двоичную дробь с записью через двоичную запятую (точку):

      1111100  
      100 11,11
       111     
       111     
        110    
        100    
         100   
         100   
            0   

      Такая дробь оказывается записанной, естественно, в частном.

      Проверка показывает:

      11112 = 1510,

      1002 = 410,

      112 = 310,

      11,112 = 3,7510,

      1510 ÷ 410 = 3,7510 = (3 3/4)10. Деление обоими способами выполнено верно.

      Ответ. 11112 ÷ 1002 = 11,112 = (11 11/100)2.

Пример 7 показывает, как можно осуществить деление двоичных чисел с заданной точностью. Такое деление осуществляется до тех пор, пока в частном не будет получено количество знаков после двоичной запятой, на единицу большее требуемого. Затем частное придётся округлить.

    • Правило округления двоичных чисел до целого значения состоит в следующем: если в старшем разряде дробной части числа имеется нуль, то дробная часть этого числа просто отсекается, а если единица, то к целой части числа следует прибавить единицу. Аналогично производится округление с другой точностью.

  • 7

    • Задача. Разделить числа 101102 и 1012 с точностью до 5 знаков после двоичной запятой.


      Решение. Деление с заданной точностью выполняется точно так же, как и в предыдущем примере. Только процесс сам по себе может быть бесконечным, и поэтому нужно вовремя остановиться. Поскольку в задании указана точность, то необходимо продолжать деление до тех пор, пока в дробной части частного не появится количество знаков, на единицу большее заданного. Затем нужно правильно округлить число с нужной точностью. Именно поэтому в нашем решении количество знаков дробной части частного не пять, а шесть:

      10110101        
      101  100,011001
         1000         
          101         
           110        
           101        
             1000     
              101     
                11    

      Округляя до пяти знаков после запятой, получим, что 10110 ÷ 101 ≈ 100,01101.

      В ходе проверки устанавливается следующее:

      101102 = 2210,

      1012 = 510,

      100,011012 = (4 13/32)10 ≈ 4,410.

      Разделив 2210 на 510, получим 4,410 = (4 2/5)10.

      Решим уравнение 2/5 = x/32, x = 12,8 ≈ 13, что и даёт дробную часть 13/32, как, собственно, и вышло в ходе приведённого решения. Таким образом, деление произведено без ошибок.

      Ответ. 100,011012.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика