§12. Умножение и деление восьмеричных чисел
ИнфоКонсалтинг
Образовательный сервис


Новости сайта

02.10.2017 С наступающим Днём Учителя, дорогие наши учителя!

24.08.2017 Успейте подобрать репетитора на новый учебный год! Это можно сделать на соответствующей странице нашего сайта, притом по любому предмету, в любом городе России и с учётом индивидуальных требований.

Сервис предоставлен Ассоциацией репетиторов.

Найти репетитора

Отправить заявку

24.08.2017 Страницы сайта переиндексированы для системы поиска ИнфоКонсалтинг.

Поиск по нашему сайту

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 23 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 23 демо-версии 2017 г. по информатике

04.10.2016 В разделе "К экзамену" появилось решение задачи 26 демо-версии КИМ ЕГЭ по информатике от 2017 г.

Задача 26 демо-версии 2017 г. по информатике


§12. Умножение и деление восьмеричных чисел


Найти репетитора

§12. Умножение и деление восьмеричных чисел

×01234567
000000000
101234567
2024610121416
30361114172225
404101420243034
505121724313643
606142230364452
707162534435261

Табл. 12.1. Правила умножения однозначных восьмеричных чисел

Чтобы умножить одно восьмеричное число на другое, требуется использовать восьмеричную таблицу умножения (табл. 12.1). Она позволяет умножать числа аналогично тому, как это делается в десятичной системе счисления.

Составить такую таблицу самостоятельно очень просто. Как и в десятичной (да и любой другой) системе счисления, в произвольно выбранной строке таблицы умножения каждое последующее число, считая слева направо, получено сложением числа, образованного цифрой её названия, и предыдущего числа. Первым же числом в строке (не считая цифры в её названии), является нуль, что естественно. Отметим также, что числа n-ой строки, прочитанные слева направо, совпадают с числами n-го столбца (сверху вниз).

    • Таблица умножения двоичных чисел (см. §7) составлена точно так же, но она слишком маленькая, чтобы для неё выполнять подобный анализ, — правила умножения двоичных чисел было проще пересказать словами…

В Примерах 1 — 3 подробно описано умножение восьмеричных чисел.

  • 1

    • Задача. Умножить числа 278 и 448.


      Решение.

        ×27 (первый множитель)
        44 (второй множитель)
      +  34 (произведение 44 и 27)
       10  (произведение 44 и 27)
       34  (произведение 44 и 27)
      10   (произведение 44 и 27)
       1474 (произведение)

      Проверим вычисления:

      278 = 2310,

      448 = 3610,

      14748 = 82810,

      2310 × 3610 = 82810, что подтверждает правильность вычислений.

      Ответ. 14748.

  • 2

    • Задача. Найти произведение восьмеричных чисел 2,4 и 6,2.


      Решение. Увеличим оба числа в 108 (т. е. в восемь) раз для того, чтобы записать их "в столбик" целыми. После получения ответа следует не забыть определить для дробной части два знака.

        ×24 (первый множитель)
        62 (второй множитель)
      +  10 (произведение 62 и 24)
        4  (произведение 62 и 24)
       30  (произведение 62 и 24)
      14   (произведение 62 и 24)
       1750 (произведение)

      Исходные числа дробные, в каждом — по одному знаку после запятой, поэтому в нашем произведении должно быть два знака в дробной части. Один из них — нуль, оканчивающий дробную часть, поэтому результат произведения чисел можно записать так: 2,48 × 6,28 = 17,58. Проверим:

      2,48 = 2,510,

      6,28 = 6,2510,

      17,58 = 15,62510,

      2,510 × 6,2510 = 15,62510. Произведение определено верно.

      Ответ. 17,5.

  • 3

    • Задача. Найти произведение чисел 51708 и 4208.


      Решение. Запишем числа так, чтобы имеющие наименьшие порядки их ненулевые цифры оказались друг под другом:

        ×5170  (первый множитель)
         420  (второй множитель)
      + 1      (переносы сложения)
         16   (произведение 420 и 5170)
         2    (произведение 420 и 5170)
       12     (произведение 420 и 5170)
        34    (произведение 420 и 5170)
        4     (произведение 420 и 5170)
      24      (произведение 420 и 5170)
       2617600 (произведение)

      Как видно, нули, оканчивающие исходные числа, оказались на конце их произведения. Проверим вычисления:

      51708 = 268010,

      4208 = 27210,

      26176008 = 72896010,

      268010 × 27210 = 72896010, вычисления выполнены верно.

      Ответ. 26176008.

Деление чисел, представленных по правилам любых систем счисления, остаётся самым сложным действием: для его выполнения так или иначе требуется последовательно и многократно осуществлять собственно деление (целочисленное), умножение и вычитание. Для вычисления результатов деления применительно к восьмеричным числам будем обращаться к соответствующим таблицам сложения (см. предыдущий параграф) и умножения (табл. 12.1).

Пример 4 содержит информацию о том, как выполняется деление целых восьмеричных чисел без остатка.

  • 4

    • Задача. Разделить восьмеричное число 330 на восьмеричное 22.


      Решение.

      33022
      22 14
      110  
      110  
         0  

      Сделаем проверку умножением:

       ×14
       22
      + 10
       2 
      10 
      2  
       330

      Произведение сходится с делимым.

      Проверка переводом в десятичное представление показывает:

      3308 = 21610,

      228 = 1810,

      148 = 1210,

      21610 ÷ 1810 = 1210, что означает правильность выполнения деления.

      Ответ. 14.

В Примере 5 показан процесс осуществления деления целых восьмеричных чисел с остатком и запись окончательного результата.

  • 5

    • Задача. Выполнить деление с остатком восьмеричных чисел 174 и 14.


      Решение.

      17414
      14 12
       34  
       30  
         4  

      Окончательный ответ такого деления можно записать восьмеричной дробью 12 4/14 или, после сокращения, 12 1/3.

      Сделаем проверку умножением:

       ×12
       14
      + 10
       4 
       2 
      1  
       170

      Полученное произведение, сложенное с остатком от деления, сходится с делимым: 1708 + 48 = 1748.

      Сделаем проверку переводом в десятичную форму:

      1748 = 12410,

      148 = 1210,

      (12 1/3)8 = (10 1/3)10,

      12410 ÷ 1210 = (10 1/3)10. Деление выполнено правильно.

      Ответ. 12 1/3.

Из Примера 6 можно узнать, как выполняется деление восьмеричных чисел с заданной точностью.

    • Нужно пояснить, как выполняется округление восьмеричных чисел. Пусть требуется округлить число до целого значения. Если в старшем разряде дробной части находится цифра из первой половины алфавита (0, 1, 2 или 3), то вся дробная часть числа отсекается, а если из второй половины (4, 5, 6, 7), то к целой части числа следует прибавить единицу. Аналогично выполняется округление восьмеричных чисел с другой точностью.

  • 6

    • Задача. Выполнить деление с точностью до четырёх знаков после восьмеричной запятой: 638 ÷ 138.


      Решение. При делении "углом" придётся получить 5 знаков после восьмеричной запятой (точки), чтобы затем округлить дробное число.

      6313      
      544,50564
       70       
       67       
        100     
         67     
         110    
         102    
           60   
           54   
             4  

      Округляя до четырёх знаков после запятой, получим, что 63 ÷ 13 ≈ 4,5057.

      В ходе проверки устанавливается следующее:

      638 = 5110,

      138 = 1110,

      4,50578 = (4 2607/4096)10 ≈ 4,6410.

      Разделив 5110 на 1110, получим, округляя до сотых, 4,6410 = (4 16/25)10.

      Решим уравнение 16/25 = x/4096, x = 2621,44 ≈ 2621, что даёт числитель дроби 2621/4096 и отличается от числителя дроби 2607/4096 на слишком малую величину (сами дроби отличаются всего на 7/2048; чтобы точно получить числитель дробной части числа 4 2607/4096, нужно было округлить результат деления 51 на 11 не до сотых). Исходя из этого, можно заключить, что деление произведено без ошибок.

      Ответ. 4,50578.



Поддержите нас!


Обращаем Ваше внимание:

Ваш браузер недостаточно эффективен. Установите достойный браузер здесь.

Все анонсы? / ?



Индекс цитирования
CY, Page Rank
Яндекс.Метрика